Déterminer tous les polynômes \(P\in \mathbb{C}_{ }[X]\) vérifiant: \[\forall x\in \mathbb{R} , \quad P(x)\in \mathbb{R} .\]


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[ID: 1031] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:58] [Catégorie(s): Racines d'un polynôme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 630
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:58

Soit \(P=a_nX^n+\dots +a_0 \in \mathbb{C}_{ }[X]\) vérifiant la condition de l’énoncé. Puisque \(a_0=P(0)\), \(a_0 \in \mathbb{R}\). Montrons que tous les coefficients de \(P\) sont réels. Considérons le polynôme \[\overline{P}=\overline{a_n}X^n + \dots + \overline{a_0}\] et \(H=P-\overline{P}\). Soit \(x\in \mathbb{R}\), \[P(x)\in \mathbb{R} \Rightarrow \overline{P(x)}=P(x).\] Mais \(\overline{P(x)}=\overline{a_n}x^n+\dots + \overline{a_0}=\overline{P}(x)\). Par conséquent, \[\forall x\in \mathbb{R} , H(x)=0 .\] Le polynôme \(H\) a donc une infinité de racines, il est nul et donc \(\forall i\in \llbracket 0,n\rrbracket\), \(\overline{a_i}=a_i\). Donc \(P\in \mathbb{R}_{ }[X]\). Réciproquement, tout polynôme à coefficients réels vérifie la propriété.


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