On définit par récurrence la suite de polynômes \(\left(P_n\right)\) : \[\begin{cases} P_0=2,\quad P_1=X\\ \forall n\in\mathbb{N},\quad P_{n+2}=XP_{n+1}-P_n \end{cases}\]

  1. Calculer \(P_2\) et \(P_3\).

  2. Déterminer le degré et le coefficient du terme dominant de \(P_n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

  3. Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\) et pour tout \(z\in\mathbb{C}^*\) : \[P_n\left(z+\dfrac{1}{z}\right)=z^n+\dfrac{1}{z^n}.\]

  4. En déduire une expression simple de \(P_n\left(2\cos \theta\right)\) pour tout \(\theta \in\mathbb{R}\).

  5. Déterminer les racines de \(P_n\) et en déduire une factorisation de \(P\).


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[ID: 1027] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:58] [Catégorie(s): Racines d'un polynôme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 1003
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:58
  1. \(P_2=X^2-2\), \(P_3=X^2-3X\).

  2. Par récurrence, montrons que pour tout \(n\geqslant 1\), le coefficient du terme dominant de \(P_n\) est \(1\) et \(\deg P_n=n\). La propriété est clairement vraie aux rangs \(1\) et \(2\). Soit \(n\geqslant 2\). Supposons que le coefficient du terme dominant de \(P_n\) et de \(P_{n-1}\) est \(1\) et que \(\deg P_n=n\), \(\deg P_{n-1}=n-1\). Comme \(P_{n+1}=X P_{n}-P_{n-1}\), il est clair que \(\deg P_{n+1}=\deg P_n+1=n+1\) et que le coefficient du terme dominant de \(P_n\) est \(1\). La propriété est prouvée par récurrence.

  3. Démontrons à nouveau cette propriété par récurrence : celle-ci est vraie au rang \(0\). Soit \(n\in\mathbb{N}\) Supposons que la propriété est vraie au rang \(n\) et au rang \(n+1\) et prouvons-la au rang \(n+2\) : \[\begin{aligned} P_{n+2}\left(z+\dfrac{1}{z}\right)&=&\left(z+\dfrac{1}{z}\right)P_{n+1} \left(z+\dfrac{1}{z}\right)-P_n\left(z+\dfrac{1}{z}\right)\\ &=&\left(z+\dfrac{1}{z}\right)\left(z^{n+1}+\dfrac{1}{z^{n+1}}\right)-\left(z^n+\dfrac{1}{z^n}\right)\\ &=& z^{n+2}+\dfrac{1}{z^{n+2}} \end{aligned}\] La propriété est alors prouvée par récurrence.

  4. Soit \(\theta\in\mathbb{R}\). Par application de la question précédente et utilisation des relations d’Euler : \[\begin{aligned} P_n\left(2\cos \theta\right)&=&P_n\left(e^{i\theta}+\dfrac{1}{e^{i\theta}}\right)\\ &=& e^{in\theta}+\dfrac{1}{e^{in\theta}}\\ &=& \boxed{2\cos\left(n\theta\right)} \end{aligned}\]

  5. La question précédente nous invite à chercher les racines de \(P_n\) sous la forme \(z=2\cos \theta\). Remarquons que si \(z\in\left[-2,2\right]\), il existe un unique \(\theta\in\left[0,\pi\right[\) tel que \(z=2\cos \theta\). Considérons donc \(\theta\in\left[0,\pi\right[\) tel que \(P_n\left(2\cos \theta\right)\). On a alors \(\cos\left(n\theta\right)=0\) c’est-à-dire \(\theta=\dfrac{\left(2k+1\right)\pi}{2n}\) avec \(k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket\). Les \(n\) nombres \(2\cos\left( \dfrac{\left(2k+1\right)\pi}{2n}\right)\) pour \(k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket\) sont tous distincts et comme \(\deg =n\), ce sont les \(n\) racines de \(P_n\). Le coefficient du terme dominant de \(P\) étant \(1\) on obtient : \[\boxed{P=\prod_{k=1}^n \left(X-2\cos\left(\dfrac{\left(2k+1\right)\pi}{2n}\right) \right)}.\]


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