Trouver les racines de \[P(X)= \sum_{k=0}^n {\displaystyle\Big({{\textstyle n}\atop {\textstyle k}}\Big)}X^{n-k} \cos k\alpha.\]


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[ID: 1025] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:58] [Catégorie(s): Racines d'un polynôme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 164
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:58

Introduisons le polynôme \(Q=\sum_{k=0}^n {\displaystyle\Big({{\textstyle n}\atop {\textstyle k}}\Big)}X^{n-k} e^{i k\alpha}\). Il est clair que \(P=\left(Q+\overline Q\right)/2\). Mais d’après la formule du binôme, \(Q=\left(X+e^{i\alpha}\right)^n\) et \(\overline Q= \left(X+e^{-i\alpha}\right)^n\). L’ensemble des racines de \(P\) est exactement l’ensemble des racines de \(Q+\overline Q\). Soit \(a\) une racine de \(P\). Comme \(Q\left(a\right)+\overline Q \left(a\right)=0\), \(\left(a+e^{i\alpha}\right)^n=-\left(a+e^{-i\alpha}\right)^n\) et il existe \(k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket\) tel que \(a+e^{i\alpha}= e^{i\left(\pi + {\scriptstyle 2k\pi\over\scriptstyle n}\right)}\left(a+e^{-i\alpha}\right)\) donc \[a=-\dfrac{ e^{-i\alpha} e^{i{ + {\scriptstyle 2k\pi\over\scriptstyle n}}} + e^{i\alpha} }{e^{i{ + {\scriptstyle 2k\pi\over\scriptstyle n}}} +1} .\] On obtient ainsi \(n\) valeurs possibles pour \(a\). Comme \(P\) est de degré \(n\), il a exactement \(n\) racines dans \(\mathbb{C}\) et les \(n\) nombres complexes de la forme précédente constituent l’ensemble de toutes les racines de \(P\).


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