Soit \(P\in\mathbb{R}\left[X\right]\) un polynôme de degré \(n>0\). On suppose que \(P\) admet \(n\) racines réelles distinctes.

  1. Montrer que \(P'\) admet \(n-1\) racines réelles distinctes.

  2. En déduire que pour tout \(a \in \mathbb{R}^{\star}\), le polynôme \(Q = P^2 + a^2\) n’a pas de racines complexes multiples.


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[ID: 1023] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:58] [Catégorie(s): Racines d'un polynôme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 399
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:58
  1. Notons \(\alpha_1,\dots, \alpha_n\) les racines de \(P\) dans l’ordre croissant. Soit \(i\in\llbracket 1,n-1\rrbracket\). \(P\) est continue et dérivable sur le segment \(\left[\alpha_i,\alpha_{i+1}\right]\) et \(P\left(\alpha_1\right)=P\left(\alpha_{i+1}\right)=0\). D’après le théorème de Rolle, il existe \(c_i\in\left]\alpha_i,\alpha_{i+1}\right[\) tel que \(P'\left(c_i\right)=0\). On démontre ainsi que \(P'\) admet une racine \(c_i\in \left]\alpha_i,\alpha_{i+1}\right[\) pour tout \(i\in \llbracket 1,n-1\rrbracket\). Donc \(P'\) admet \(n-1\) racines et ces racines sont toutes distinctes.

  2. Par l’absurde, s’il existe \(\alpha \in \mathbb{C}\) tel que \(Q(\alpha) = Q'(\alpha) = 0\), on aurait \[\begin{cases} P^2(\alpha) + a^2 &= 0 \\ 2P(\alpha)P'(\alpha) &= 0 \end{cases}\] et donc \(\alpha\) n’est pas réel car \(P^2(\alpha) + a^2 > 0\). On ne peut pas avoir \(P(\alpha) = 0\) (car \(P\) est scindé sur \(\mathbb{R}\)), et donc \(P'(\alpha) = 0\). Mais comme \(P'\) est scindé, on aurait \(\alpha \in \mathbb{R}\) ce qui est absurde.


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