On considère deux polynômes \((P, Q) \in \mathbb{\mathbb{C} }_{ }[X] ^2\) vérifiant \[\forall z \in \mathbb{C} ,~ \bigl|P(z)\bigr| = \bigl|Q(z)\bigr|.\] Montrer qu’il existe \(u \in \mathbb{C}\), \(\lvert u \rvert = 1\) tel que \(P = uQ\).


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[ID: 1021] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:58] [Catégorie(s): Racines d'un polynôme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 862
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:58

Pour tout \(\alpha \in \mathbb{C}\), on a \(P(\alpha) = 0 \Longleftrightarrow Q(\alpha) = 0\). Donc \(P\) et \(Q\) ont les mêmes racines. Comme tout polynôme de \(\mathbb{\mathbb{C} }_{ }[X]\) est scindé, le résultat est immédiat. Du moins tant que les racines sont simples. Sinon on écrit \(P = \lambda\displaystyle\prod_{k=1}^m \left( X - \alpha_k \right)^{p_k}\) et \(Q = \mu\displaystyle\prod_{k=1}^m \left( X - \alpha_k \right)^{q_k}\) avec les \(\alpha_k\) deux à deux distincts. Soit \(k_0\in\llbracket 1,m\rrbracket\) Pour fixer les idées, on peut supposer \(p_{k_0}\leqslant q_{k_0}\). En divisant par \(\left( z - \alpha_{k_0} \right)^{p_{k_0}}\) on obtient, pour \(z\neq \alpha_{k_0}, \left\vert \lambda\displaystyle\prod_{\substack{k=1\\k\neq k_0}}^m \left( z - \alpha_k \right)^{p_k}\right\vert = \left\vert \mu\left( z - \alpha_{k_0} \right)^{q_{k_0}-p_{k_0}}\prod_{\substack{k=1\\k\neq k_0}}^m \left( z - \alpha_k \right)^{q_k}\right\vert\). Supposons l’espace d’un instant que \(q_{k_0}>p_{k_0}\), on obtiendrait, en faisant tendre \(z\) vers \(\alpha_{k_0}\), \(\left\vert \lambda\displaystyle\prod_{\substack{k=1\\k\neq k_0}}^m \left( \alpha_{k_0} - \alpha_k \right)^{p_k}\right\vert = 0\), contradiction. Donc \(q_{k_0} = p_{k_0}\), et ce \(\forall k_0\in \llbracket 1,m\rrbracket\). Ce qu’il fallait démontrer. Finalement, c’était bien immédiat.


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