Soit \(n\in \mathbb{N}^*\). on considère \(P_n\in \mathbb{R}[X]\) défini par \(P_n(X) = (2n-1)X^{n+2} - (2n+1)X^{n+1}+ X^2+ X\).

  1. Calculer le quotient euclidien \(Q_n\) de \(P_n\) par \((X-1)^2\).

  2. Démontrer qu’il existe un unique réel \(x_n\geqslant 0\) tel que \(Q_n(x_n) = 1\).

  3. Établir que la suite \((x_n)\) est convergente et préciser sa limite.


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[ID: 1019] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:58] [Catégorie(s): Racines d'un polynôme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 538
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:58
  1. On a \(P_n(1) = 2n-1 - (2n+1) + 1 + 1 =0\). \(P_n^\prime = (2n-1)(n+2)X^{n+1} - (n+1)(2n+1)X^n + 2X + 1\). D’où \(P_n^\prime(1) = (2n-1)(n+2) - (n+1)(2n+1) + 2 + 1 = 0\). Donc \(1\) est racine de \(P\) d’ordre au moins \(2\) et \((X-1)^2\) divise \(P_n\). On pose la division : \[\left. \begin{matrix} \phantom- (2n-1)X^{n+2} &- (2n+1)X^{n+1} && +\ldots \\ - (2n-1)X^{n+2} &+ (4n-2)X^{n+1} &-(2n-1)X^n& +\ldots \\ & (2n-3)X^{n+1} &-(2n-1)X^n& +\ldots \end{matrix} \right\vert \begin{matrix} X^2 - 2X + 1\\ \hline (2n-1)X^n + \ldots \end{matrix}\] Il semblerait donc que \(P_n = (2n-1)X^n (X^2-2x+1) + P_{n-1}\) en posant s’il le faut \(P_0 = -X^2 - X + X^2 + X = 0\). Vérifions-le : \[\begin{aligned} P_{n-1}+(2n-1)X^n (X^2-2x+1) &=& (2n-3)X^{n+1} - (2n-1)X^n+ X^2+ X + (2n-1)X^{n+2} - 2(2n-1)X^{n+1} +(2n-1)X^n\\&=& (2n-1)X^{n+2} + \left[ (2n-3) - 4n + 2 \right] + X^2 + X = P_n.\end{aligned}\]

    On en déduit que \(P_n = (X^2-2x+1) \displaystyle\sum_{k=1}^n (2k-1)X^k\).

  2. On a \(Q_n(x) = x + 3x^2 + \ldots + (2n-1)x^n\). La fonction \(Q_n\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\), avec \(Q_n(0)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}Q_n(x) = +\infty\). Donc l’équation \(Q_n(x) = 1\) admet une unique solution positive. Comme \(Q_n(1) = n^2\), on a \(0\leqslant x_n \leqslant 1\).

  3. On a \(Q_{n+1}(x_n) = Q_n(x_n) + (2n+1)x_n^{n+1} = 1 + (2n+1)x_n^{n+1} > 1 = Q_{n+1}(x_{n+1})\). Donc, comme \(Q_{n+1}\) est croissante, la suite \((x_n)\) est strictement décroissante. Comme elle est minorée par zéro, elle converge. Soit \(\ell = \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n\). Pour \(x \in[0,1[\), on a \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(2n-1)x^{n+2} = 0\) et \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(2n+1)x^{n+1} = 0\). Donc \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{(2n-1)x^{n+2} - (2n+1)x^{n+1}+ x^2+ x}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2+ x}{(x-1)^2}\). On pose \(Q(x) = \dfrac{x^2+ x}{(x-1)^2}\).
    On a \(1 - Q(\ell) = Q_n(x_n) - Q(x_n) + Q(x_n) - Q(\ell)\). Pour \(n\geqslant 2\), on a \(0\leqslant x_n \leqslant x_2 = \dfrac{\sqrt{13}-1}{2} \leqslant\dfrac12\). D’après la continuité de la fonction \(Q\) sur \([0,1[\) on a \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} Q(x_n) - Q(\ell) = 0\). Par ailleurs, \(Q_n(x_n) - Q(x_n) = \dfrac{(2n-1)x_n^{n+2} - (2n+1)x_n^{n+1}}{(x_n-1)^2}\) donc \(\left\vert Q_n(x_n) - Q(x_n) \right\vert \leqslant\left( \dfrac12\right)^{n+1} \dfrac{2n-1 + 2n + 1}{(x_n-1)^2}\) et comme \(\dfrac12 \leqslant 1 - x_n \leqslant 1\), on a \(\dfrac{1}{(x_n-1)^2} \leqslant 4\) (toujours pour \(n\geqslant 2\)). On en déduit que \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} Q_n(x_n) - Q(x_n) = 0\).
    Finalement, \(1 - Q(\ell) = 0\), donc \(\ell^2 + \ell = \ell^2 - 2\ell + 1\) d’où \(\ell = \dfrac13\).


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