Soit \[P_n=(X+1)^{2n+1} - X^{2n+1} -1 \in \mathbb{\mathbb{R} }_{ }[X]\] Montrer que \((X^2+X)\) divise \(P_n\). Est-ce que \((-1)\) est racine double de \(P\)?


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[ID: 1017] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:58] [Catégorie(s): Racines d'un polynôme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 640
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:58

Comme \(X^2+X=X\left(X+1\right)\) et que \(P_n\left(-1\right)=P_n\left(0\right)=0\), le polynôme \(X^2+X\) divise \(P\). Par ailleurs, \(P_n'=\left(2n+1\right)\left(X+1\right)^{2n}-\left(2n+1\right)X^{2n}\) et \(P_n'\left(-1\right)=-\left(2n+1\right)\neq 0\) donc \(-1\) est une racine simple de \(P\).


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