Trouver \(P\in \mathbb{\mathbb{R} }_{5}[X]\) tel que \(-1\) soit racine triple de \(P+1\) et que \(1\) soit racine triple de \(P-1\).


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[ID: 1015] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:58] [Catégorie(s): Racines d'un polynôme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 654
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:58

Soit \(P\) un polynôme répondant aux hypothèses de l’énoncé. Alors il existe \(S=aX^2+bX^2+c\in \mathbb{\mathbb{R} }_{2}[X]\) et \(T=dX^2+eX^2+f\in \mathbb{\mathbb{R} }_{2}[X]\) tels que \[P=\left(X+1\right)^3S-1 = \left(X-1\right)^3T+1.\] On développe ces expressions et on identifie les termes de même degré. On obtient le système : \[\begin{cases} a &= d\\ 3a+b &= e-3d\\ 3a+3b+c &= f-3e+3d\\ a+3b+3c &= -3f+3e-d\\ b+3c &= 3f-e\\ c-1 &= -f+1\end{cases}\] dont l’unique solution est \(a = 3/8, b = -9/8, c = 1, d = 3/8,e = 9/8, f = 1\). On en déduit que \(P=(x+1)^3(3/8x^2-9/8x+1)-1=\boxed{3/8x^5-5/4x^3+15/8x}\). Réciproquement, on vérifie que ce polynôme est solution de notre problème.


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