On considère le polynôme \[P_n(X)=1+X+\dfrac{X^2}{2!}+\dots + \dfrac{X^n}{n!}\] Montrer qu’il n’a pas de racine multiple.


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[ID: 1013] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:58] [Catégorie(s): Racines d'un polynôme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 314
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:58

Supposons que \(P_n\) admet une racine \(\alpha\in\mathbb{C}\) d’ordre au moins deux. Alors \(P_n(\alpha)=P'_n(\alpha)=0\). Mais \[P_n\left(\alpha\right)= 1+\alpha+\dfrac{\alpha^2}{2!}+\dots + \dfrac{\alpha^n}{n!} \quad \textrm{ et} \quad P_n'\left(\alpha\right)= 1+\alpha+\dfrac{\alpha}{2!}+\dots + \dfrac{\alpha^{n-1}}{\left(n-1\right)!}.\] Donc par soustraction de ces deux égalités, on a \(\dfrac{\alpha^n}{n!}=0\) et forcément \(\alpha=0\). Mais \(P_n(0)=1\) et on aboutit à une contradiction.


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