Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois éléments non nuls et distincts de \(\mathbb{K}\). Démontrer que le polynôme \[P=\dfrac{X\left(X-b\right)\left(X-c\right)}{a\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{X\left(X-c\right)\left(X-a\right)}{b\left(b-c\right)\left( b-a\right)}+\dfrac{X\left(X-a\right)\left(X-b\right)}{c\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\] peut s’écrire sous la forme \(P=\lambda\left(X-a\right)\left(X-b\right)\left(X-c\right)+1\)\(\lambda\) est une constante que l’on déterminera.


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[ID: 1009] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:58] [Catégorie(s): Racines d'un polynôme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 598
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:58

Par division euclidienne, il existe un unique couple \(\left(Q,R\right)\in\mathbb{R}\left[\mathbb{K}\right]\) tel que \(P=Q \left(X-a\right)\left(X-b\right)\left(X-c\right) + R\)\(R=\alpha X^2+\beta X+\gamma\in\mathbb{K}\left[X\right]\). Remarquons que \(P\left(a\right)=P\left(b\right)=P\left(c\right)=1\) donc \(a,b,c\) sont trois racines distinctes du polynômes \(R-1\). Ce polynôme étant de degré \(\leqslant 2\), ceci n’est possible que si \(R-1=0\). On a donc \(R=1\) et \(P=Q \left(X-a\right)\left(X-b\right)\left(X-c\right) + 1\). En raisonnant sur les degrés, il est clair que \(\deg Q=0\) donc \(Q=\lambda\) est une constante. Le coefficient du terme dominant de \(P\) est \[\dfrac{1}{a\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{1}{b\left(b-c\right)\left( b-a\right)}+\dfrac{1}{c\left(c-a\right)\left(c-b\right)}= \dfrac{1}{abc}\] donc \(\boxed{\lambda=1/(abc)}\).


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