On considère le polynôme : \(P=X^4-5X^3+4X^2+3X+9\).

  1. Montrer que \(3\) est une racine double de \(P\).

  2. Factoriser \(P\) dans \(\mathbb{R}\).

  3. En déduire toutes les racines de \(P\) dans \(\mathbb{C}\).


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[ID: 1005] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:57] [Catégorie(s): Racines d'un polynôme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 896
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:57
  1. Comme \(P\left(3\right)=P'\left(3\right)=0\) et que \(P''\left(3\right)\neq 0\) , \(3\) est une racine double de \(P\).

  2. \(P\) est donc de la forme : \(P=\left(X-3\right)^2\left(aX+bX+c\right)\). Par identification, on trouve : \[\boxed{P = \left(X-3\right)^{2}\left(X^{2}+X+1\right)}.\]

  3. Les racines de \(X^{2}+X+1\) sont les racines troisièmes de l’unité : \(e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 3}}\) et \(e^{-{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 3}}\) donc : \[\boxed{P = \left(X-3\right)^{2}\left(X-e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 3}}\right) \left(X-e^{-{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 3}} \right)}\] et \(P\) comporte une racine double : \(3\) et deux racines simples complexes conjuguées : \(e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 3}}\) et \(e^{-{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 3}}\).


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