Vérifier que \(X^{n}\sin\vartheta - X.\sin n\vartheta + \sin (n-1)\vartheta\) est divisible dans \(\mathbb{C}[X]\) par \(X^{2}- 2X.\cos \vartheta + 1\) et calculer le quotient.


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[ID: 999] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:55] [Catégorie(s): Division euclidienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 910
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:55

Les racines de \(X^2- 2X\cos \vartheta + 1\) sont \(e^{i\vartheta}\) et \(e^{-i\vartheta}\). Vérifions qu’elles sont aussi racines du dividende. Pour \(e^{i\vartheta}\) :
\(e^{in\vartheta}\dfrac{e^{i\vartheta} - e^{-i\vartheta}}{2i} - e^{i\vartheta}\dfrac{e^{in\vartheta} - e^{-in\vartheta}}{2i} + \dfrac{e^{i(n-1)\vartheta} - e^{-i(n-1)\vartheta}}{2i} = \dfrac{1}{2i}\left[ e^{i(n+1)\vartheta} - e^{i(n-1)\vartheta} - e^{i(n+1)\vartheta} + e^{-i(n-1)\vartheta} + e^{i(n-1)\vartheta} - e^{-i(n-1)\vartheta}\right] = 0\). Comme le dividende est un polynôme réel, le conjugué de \(e^{i\vartheta}\) est aussi racine.

On pose la division sans se dégonfler : \[\left. \begin{matrix} X^{n}\sin\vartheta&&&& &- X.\sin n\vartheta &\sin (n-1)\vartheta \\ &X^{n-1}\sin2\vartheta&X^{n-2}\sin\vartheta& & & - X.\sin n\vartheta &\sin (n-1)\vartheta \\ & &2X^{n-2}\sin2\vartheta\cos \vartheta& & &- X.\sin n\vartheta &\sin (n-1)\vartheta\\ = & &X^{n-2}\sin\vartheta(4\cos^2 \vartheta - 1)& & &- X.\sin n\vartheta &\sin (n-1)\vartheta\\ = & &X^{n-2}\sin3\vartheta& & &- X.\sin n\vartheta &\sin (n-1)\vartheta\\ \end{matrix} \right| \begin{matrix} X^2&- 2X\cos \vartheta&+1& \\ \hline X^{n-2}\sin\vartheta&+ X^{n-3}\sin2\vartheta \\ &+ X^{n-4}\sin3\vartheta+\ldots \\ \\ \\ \end{matrix}\] On peut donc supposer que le quotient est \(X^{n-2}\sin\vartheta + X^{n-3}\sin2\vartheta + \ldots + \sin(n-1)\vartheta\). En remarquant que \(\sin x = Im(e^{ix})\) on est amené à calculer \(\left( X^{n-2}e^{i\vartheta} + X^{n-3}e^{2i\vartheta} + \ldots + e^{i(n-1)\vartheta}\right)\left( X - e^{i\vartheta}\right) = e^{i\vartheta}\left( X^{n-2} + X^{n-3}e^{i\vartheta} + \ldots + e^{i(n-2)\vartheta}\right)\left( X - e^{i\vartheta}\right) = e^{i\vartheta}\left( X^{n-1} - e^{i(n-1)\vartheta}\right) = e^{i\vartheta}X^{n-1} - e^{in\vartheta}\). En multipliant le résultat précédent par \(X - e^{i\vartheta}\), \(\left( X^{n-2}e^{i\vartheta} + X^{n-3}e^{2i\vartheta} + \ldots + e^{i(n-1)\vartheta}\right)\left( X^2- 2X\cos \vartheta + 1\right) = e^{i\vartheta}X^n - e^{in\vartheta}X - X^{n-1} + e^{i(n-1)\vartheta}\).
En prenant les parties imaginaires des deux membres, on a bien le résultat annoncé.
La partie imaginaire d’un polynôme \(P\) est bien sûr le polynôme \({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2i}\left( P - \overline P\right)\).
Remarque: On a aussi démontré que \(X^n \cos \vartheta - X^{n-1} - \cos n\vartheta X + \cos (n-1)\vartheta\) est divisible par \(X^2- 2X\cos \vartheta + 1\) et que le quotient est \(X^{n-2}\cos\vartheta + X^{n-3}\cos2\vartheta + \ldots + \cos(n-1)\vartheta\).


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