Pour \(m\in {\mathbb{N}}^{*}\)et \(\vartheta \in {\mathbb{R}}\), on considère \(F_{m,\vartheta}= X^{2m}- 2X^{m}\cos m\vartheta + 1 \in {\mathbb{C}}[X]\). Vérifier que \(F_{m,\vartheta }\) est divisible par \(F_{1,\vartheta }\). Calculer le quotient.


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[ID: 997] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:55] [Catégorie(s): Division euclidienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 420
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:55

D’abord, il est bon de remarquer que \(F_{m,\vartheta} = \left[X^m - \left( e^{i\vartheta}\right)^m \right]\left[X^m - \left( e^{-i\vartheta}\right)^m \right] .\) On en déduit que le quotient égale \[\left[X^{m-1} + e^{i\vartheta}X^{m-2} + \ldots + e^{i(m-1)\vartheta} \right] \left[X^{m-1} + e^{-i\vartheta}X^{m-2} + \ldots + e^{-i(m-1)\vartheta} \right].\]

Les coefficients se calculent plutôt bien. \(1\) pour \(X^{2m-2}\), \(e^{i\vartheta} + e^{-i\vartheta} = 2\cos \vartheta\) pour \(X^{2m-3}\), \(e^{2i\vartheta} + 1 + e^{-2i\vartheta} = 1 + 2\cos 2\vartheta\) etc. Pour la suite on prendra \(\vartheta\not\equiv0\pmod\pi\).

Pour \(0\leqslant k \leqslant m-1\), le coefficient de \(X^k\) égale \(e^{i(m-k-1)\vartheta}.e^{-i(m-1)\vartheta} + e^{i(m-k-2)\vartheta}e^{-i(m-2)\vartheta} + \ldots e^{-i(m-k-1)\vartheta}e^{i(m-1)\vartheta}\). On a la somme d’une suite géométrique de \(k+1\) termes de raison \(e^{2i\vartheta}\) soit \[e^{-ik\vartheta} \dfrac{e^{2i(k+1)\vartheta}-1}{e^{2i\vartheta}-1} = e^{-ik\vartheta} \dfrac{e^{ik\vartheta}}{e^{i\vartheta}} \dfrac{e^{i(k+1)\vartheta} - e^{-i(k+1)\vartheta}}{e^{i\vartheta} - e^{-i\vartheta}} = \dfrac{\sin{(k+1)\vartheta}}{\sin \vartheta}.\]

Les coefficients sont symétriques, c’est-à-dire que le coefficient de \(X^{2m-2-k}\) est aussi \(\dfrac{\sin{(k+1)\vartheta}}{\sin \vartheta}\).
Une dernière vérification, car il en faut pour tous les goûts : Il s’agit de calculer les coefficients de \[\left( X^2 - 2X\cos \vartheta + 1 \right) \left( \sin \vartheta X^{2m-2} + \sin 2\vartheta X^{2m-3} + \ldots + \sin (m-1) \vartheta X^{m} + \sin m\vartheta X^{m-1} + \sin (m-1)\vartheta X^{m-2} + \ldots + \sin \vartheta \right).\] Le coefficient constant vaut \(\sin \vartheta\), pour \(2\leqslant k \leqslant m-1\), le coefficient de \(X^k\) vaut \[\sin (k+1)\vartheta - 2\cos \vartheta \sin k\vartheta + \sin (k-1)\vartheta = \sin k\vartheta\cos \vartheta + \cos k\vartheta\sin \vartheta - 2\cos \vartheta\sin k\vartheta + \sin k\vartheta\cos \vartheta - \sin \vartheta\cos k\vartheta = 0.\]

le coefficient de \(X^m\) vaut \[\sin (m+1)\vartheta - 2\cos \vartheta \sin m\vartheta + \sin (m-1)\vartheta = \sin m\vartheta\cos \vartheta - \cos m\vartheta\sin \vartheta - 2\cos \vartheta\sin m\vartheta + \sin m\vartheta\cos \vartheta - \sin \vartheta\cos m\vartheta = -2\cos m\vartheta\sin \vartheta.\] En utilisant les symétries des coefficients (on dit que ces polynômes sont réciproques. Voir aussi l’exercice p. ), le coefficient de \(X^k\) pour \(m+1\leqslant k \leqslant 2m-1\) est nul et celui de \(X^{2n}\) vaut \(\sin \vartheta\). D’où \[\left( X^2 - 2X\cos \vartheta + 1 \right) \left( \sin \vartheta X^{2m-2} + \sin 2\vartheta X^{2m-3} + \ldots + \sin (m-1) \vartheta X^{m} + \sin m\vartheta X^{m-1} + \sin (m-1)\vartheta X^{m-2} + \ldots + \sin \vartheta \right) \\= \sin \vartheta \left( X^{2m}- 2X^{m}\cos m\vartheta + 1\right).\]


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