Soient \(a\in\mathbb{R}\) et \(n\in\mathbb{N}^*\). Déterminer le reste de la division euclidienne dans \(\mathbb{R}\left[X\right]\) de \(\left(X\sin a + \cos a\right)^n\) par \(X^2+1\).


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[ID: 995] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:54] [Catégorie(s): Division euclidienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 628
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:54

Par division euclidienne, on a : \[\left(X\sin a + \cos a\right)^n=Q\left(X^2+1\right)+\alpha X+ \beta\] avec \(Q\in\mathbb{R}\left[X\right]\) et \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\). On remplace \(X\) par les racines \(i\) et \(-i\) de \(X^2+1\), on obtient : \[\begin{cases}e^{ia}&=\alpha i+\beta \\e^{-ia}&=\alpha i+\beta \end{cases}\] Il vient \(\alpha= \sin a\) et \(\beta = \cos a\). Donc le reste recherché est : \(\boxed{X\sin a +\cos a }\).


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