Trouver le reste de la division euclidienne de \(X^n\) par \((X-1)^3\).


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[ID: 993] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:54] [Catégorie(s): Division euclidienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 45
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:54

En utilisant la formule de Taylor, on trouve \[X^n = 1 + n\left(X-1\right)+ \dfrac{n(n-1)}{2}\left(X-1\right)^2+\left(X-1\right)^3Q\]\(Q\in\mathbb{R}\left[X\right]\). Par unicité du couple quotient-reste dans la division euclidienne de deux polynômes, on trouve pour le reste \[\boxed{ \dfrac{n(n-1)}{2}(X-1)^2 + n(X-1)+1 }.\]


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