Soient \(P\in \mathbb{K}_{ }[X]\) et \(r\) et \(s\) les restes de la division de \(P\) par \((X-a)\) et par \((X-b)\). Quel est le reste de la division de \(P\) par \((X-a)(X-b)\)? (on déterminera ce reste en fonction de \(r,s\) lorsque \(a\neq b\) et en fonction de \(P(a)\) et \(P'(a)\) si \(a=b\).
( ).
Lorsque \(a=b\), utiliser la formule de Taylor.

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[ID: 991] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:54] [Catégorie(s): Division euclidienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 69
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:54

Par division euclidienne, il existe un unique couple \(\left(Q,R\right)\in \left(\mathbb{K}\left[X\right]\right)^2\) tel que \(P=\left(X-a\right)\left(X-b\right)Q+R\) et \(\deg R\leqslant 1\). Donc \(R=\alpha X+\beta\)\(\alpha,\beta\in\mathbb{K}\).

  • Si \(a\neq b\), alors l’égalité précédente amène \(P\left( a\right)=\alpha a+\beta\) et \(P\left( b\right)=\alpha b+\beta\). On résout le système formé par ces deux équations et on trouve \(R= \dfrac{ P(a)-P(b)}{a-b} X + \dfrac{bP(a)-aP(b)}{b-a}\). Comme \(r=P(a)\) et \(s=P(b)\), il vient \(\boxed{R= \dfrac{ r-s}{a-b} X + \dfrac{br-as}{b-a}}\).

  • Si \(a=b\), on écrit la formule de Taylor: \[P(X)= P(a)+(X-a)P'(a) + (X-a)^2Q(X)\] et le reste vaut alors \(\boxed{R=P(a)+(X-a)P'(a)}\).


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