Soit \(\varphi~:~\mathbb{Z}\to \mathbb{K}[X]\) un morphisme de d’anneaux. Montrer que \(\forall\,(a,b)\in\mathbb{Z}^2, \varphi(a)\wedge \varphi(b)=\varphi(a\wedge b)\).


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[ID: 1003] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:55] [Catégorie(s): Division euclidienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 370
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:55

Soit \(d=a\wedge b\). On écrit \(a=da',\,b=db'\), avec \(a'\wedge b'=1\).

Soient \(u,v\in \mathbb{Z}\) tels que \(ua'+vb'=1\). On a alors \(\varphi(u)\varphi(a')+\varphi(v)\varphi(b')=\varphi(1) = 1\), et donc \(\varphi(a')\) et \(\varphi(b')\) sont premiers entre eux.

Comme \(\varphi(a)=\varphi(d)\varphi(a')\) et \(\varphi(b)=\varphi(d)\varphi(b')\), on a le résultat.


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