Soit \(n\) et \(m\) deux entiers naturels.

  1. Démontrer que si \(d\mid n\) alors \(X^d - 1 \mid X^n - 1\).

  2. On pose \(n = mq+r\) à la faveur d’une division euclidienne.
    Démontrer que \(X^n - 1 \wedge X^m - 1 = X^m - 1 \wedge X^r - 1\).

  3. Démontrer que \(X^n - 1 \wedge X^m - 1 = X^{n \wedge m} - 1\).

  4. Soit \(a\) un entier naturel. Démontrer que \(a^n - 1 \wedge a^m - 1 = a^{n \wedge m} - 1\).

  5. Montrer que si a et \(b\) sont deux entiers premiers entre eux alors \(\forall\, P\in {\mathbb{K}}[X],(P^{a}- 1).(P^{b}- 1)\) divise \((P - 1).(P^{ab}- 1).\)


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[ID: 1001] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:55] [Catégorie(s): Division euclidienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 486
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:55
  1. On écrit \(n = dk\) et on a immédiatement \(X^n - 1 = \left( X^{d}\right) ^k - 1 = \left( X^{d} - 1 \right)\left( 1 + X^d + X^{2d} + \ldots + X^{d(k-1)}\right)\) ce qui permet de conclure.
    Sinon on écrit \(X^d - 1 = \displaystyle\prod_{m=0}^{d-1} \left( X - \exp\left( {\scriptstyle 2i\pi km\over\scriptstyle n}\right)\right)\). Cela veut dire que toutes les racines de \(X^d - 1\) sont aussi racines de \(X^n - 1\). Cela veut dire que \(X^n - 1\) est divisible par chacun des \(X - \exp\left( {\scriptstyle 2i\pi km\over\scriptstyle n} \right)\) donc par leur produit puisque toutes ces racines sont notoirement distinctes.

  2. On écrit \(X^n - 1 = X^{mq+r} - X^r + X^r - 1 = X^r\left( X^{mq} - 1\right) + X^r - 1 = X^r\left( X^m - 1\right) \left( 1 + X^m + X^{2m} + \ldots + X^{m(q-1)}\right) + X^r - 1\). Comme \(\deg X^r - 1 = r < m = \deg X^m - 1\) on en déduit que \(X^r - 1\) est le reste et \(X^r \left( 1 + X^m + X^{2m} + \ldots + X^{m(q-1)}\right)\) est le quotient. Par application de l’algorithme d’Euclide, on en déduit \(X^n - 1 \wedge X^m - 1 = X^m - 1 \wedge X^r - 1\).

  3. On effectue en parallèle l’algorithme d’Euclide pour \(n\) et \(m\) d’une part, et pour \(X^n - 1\) et \(X^m - 1\) d’autre part. Dans le premier cas on appelle \(r_0, r_1, \ldots, r_p , 0\) la suite des restes. D’après le résultat précédent, la suite des restes pour \(X^n - 1\) et \(X^m - 1\) est \(X^{r_0} - 1 , X^{r_1} - 1, \ldots, X^{r_p} - 1 , 0\). Dans les deux cas le PGCD est le dernier reste non nul. On en déduit bien que \(X^n - 1 \wedge X^m - 1 = X^{r_p} - 1\) avec \(r_p = n \wedge m\). Ce qu’il fallait démontrer.

  4. On peut parfaitement appliquer la méthode précédente.

  5. On va commencer par démontrer le résultat pour \(P = X\). On sait que \(X^a - 1\) divise \(X^{ab}- 1\) soit \(X^{ab}- 1 = Q_1\left( X^a - 1 \right)\). De même \(X^{ab}- 1 = Q_2\left( X^b - 1 \right)\). Or on sait aussi que le PGCD de \(X^a - 1\) et \(X^b - 1\) égale \(X-1\). Donc on peut écrire \(X^a - 1 = (X-1) Q_3\) et \(X^b - 1 = (X-1) Q_4\) avec \(Q_3 \wedge Q_4 = 1\). Donc on a \(Q_1Q_3 = Q_2Q_4\). \(Q_3\) divise \(Q_2Q_4\) et \(Q_3 \wedge Q_4 = 1\), donc d’apès le lemme de Gauss, \(Q_3\) divise \(Q_2\). Autrement dit \(Q_2 = Q_3D\). Résumons-nous : \(\left( X^{ab}- 1\right) (X-1) = Q_3(X-1)DQ_4(X-1) = D(X)\left( X^a - 1 \right)\left( X^b - 1 \right)\).
    En toute généralité, on a \(\left( P^{ab}- 1\right) (P-1) = D(P(X))\left( P^a - 1 \right)\left( P^b - 1 \right)\). Ce qu’il fallait démontrer.


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