Soit \(n\in \mathbb{N}^*\).

  1. Démontrer qu’il existe un unique couple \((P,Q)\in \mathbb{Q}_{n-1}[X]\), tel que \((1-X)^n P(X) + X^n Q(X) = 1\).

  2. Démontrer que \(P(X) = Q(1-X)\).

  3. Démontrer que \(\exists a\in \mathbb{Q}, (1-X).P'(X) - n.P(X) = aX^{n-1}\).

  4. Calculer \(P(0)\).

  5. Déterminer les coefficients de \(P\).


Barre utilisateur

[ID: 987] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 373
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:47
  1. Soit \((P_1,Q_1)\) un autre couple. On a \((1-X)^n (P-P_1) + X^n (Q - Q_1) = 0\). Donc \(X^n\) divise \((1-X)^n (P-P_1)\). Comme \(X^n\) et \((1-X)^n\) sont premiers entre eux, d’après le lemme de Gauss, \(X^n\) divise \(P-P_1\). Comme ce dernier est de degré \(<n\), \(P-P_1 = 0\). Par suite, \(Q = Q_1\).

    Les polynômes \(X\) et \(1-X\) sont premiers entre eux. Il en est donc de même pour \((1-X)^n\) et \(X^n\). D’après la propriété de Bézout, il existe deux polynômes \(P_0\) et \(Q_0\) tels que \((1-X)^n P_0(X) + X^n Q_0(X) = 1\). Reste à régler le problème des degrés. Or pour tout polynôme \(A\) de \(\mathbb{Q}[X]\), le couple \((P_0 - A X^n, Q_0 + A(1-X)^n )\) est aussi solution. A partir de là, on effectue la division euclidienne de \(P_0\) par \(X^n\) : \(P_0 = AX^n + P\) avec \(\deg P < n\). En posant \(Q = Q_0 + A(1-X)^n\) on a \(X^n Q(X) = 1 - (1-X)^n P(X)\). En regardant les degrés, on a \(n + \deg Q = n + \deg P\) et donc \(\deg Q < n\).

  2. En substituant \(1-X\) à \(X\) on a \(X^n P(1-X) + (1-X)^nQ(1-X) = 1\). Comme \(\deg Q(1-X) = \deg Q < n\), d’après l’unicité précédente, on en déduit que \(Q(1-x)\), qui joue le rôle de \(P\) est égal à \(P\).

  3. En dérivant \((1-X)^n P(X) + X^n Q(X) = 1\), on trouve \(-n(1-X)^{n-1} P + nX^{n-1}Q(X) + (1-X)^n P' + X^n Q'(X) = 0\), soit \((1-X)^{n-1} ((1-X)P'-nP) + X^{n-1}(XQ' + nQ) = 0\). On applique à nouveau le lemme de Gauss car \(X^{n-1}\) divise \((1-X)^{n-1} ((1-X)P'-nP)\) et est premier avec \((1-X)^{n-1}\) donc \(X^{n-1}\) divise \((1-X)P'-nP\). Comme \(\deg ((1-X)P'-nP) \leqslant n-1\), on en déduit l’existence d’un \(a\in \mathbb{Q}\) (éventuellement nul) tel que \((1-X)P'-nP = aX^{n-1}\).

  4. On a \((1-0)^n P(0) + 0^n Q(0) = 1\) donc \(P(0) = 1\).

  5. On écrit \(P = 1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}a_kX^k,\;P' = \sum_{k=1}^{n-1}ka_kX^{k-1},\;XP' = \sum_{k=1}^{n-1}ka_kX^{k}\). D’où \[(1-X)P'-nP = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-2} (k+1)a_{k+1} X^k - \sum_{k=1}^{n-1}ka_kX^{k} - \sum_{k=1}^{n-1}na_kX^k - n = aX^{n-1}.\] On regarde, suivant les valeurs de \(k\), le coefficient de \(X^k\).

    • \(k=n-1\) : \(-(n-1)a_{n-1} - na_{n-1} - n = (1-2n)a_{n-1} - n = a\).

    • \(k=1,\ldots,n-2\) : \((k+1)a_{k+1} - ka_k - na_k = 0\) soit \((k+1)a_{k+1} = (n+k)a_k\) ou \(a_{k+1} = \dfrac{n+k}{k+1}a_k\).

    • \(k=n-1\) : \(a_1 = n\).

    On trouve \[\underbrace{a_{n-1}}_{k=n-2} = \dfrac{n-2+n}{n-1}\times\dfrac{2n-3}{n-2}\times \ldots \times \underbrace{\dfrac{n+1}{2}}_{k=1}\times \underbrace{n}_{=a_1}\] soit \(a_{n-1} = \dfrac{(2n-2)!}{(n-1)!(n-1)!} = \binom{2n-2}{n-1}\).
    De même \(a_k = \dfrac{n+k-1}{k} \times \ldots \times \dfrac{n+1}{2} \times n = \dfrac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} = \binom{n+k-1}{k}\).


Documents à télécharger