Soit \(P_{n}\) la suite de polynômes définie par \(P_{1}= 1 ; P_{2}= X\) et \(\forall\, n\geqslant 2,\quad P_{n}= XP_{n-1}- P_{n-2}\).

  1. Démontrer que \(\forall n\geqslant 2,\quad P^{2}_{n}- P_{n-1}.P_{n+1}= 1\).

  2. En déduire que \(P_{n}\) et \(P_{n+1}\) sont premiers entre eux.


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[ID: 985] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 61
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:47
  1. On a \(P_3 = XP_2 - P_1 = X^2 - 1\) et donc \(P_2^2 - P_1P_3 = X^2 - \left( X^2 - 1\right)\times 1 = 1\). On a aussi pour \(n\geqslant 2\) : \[P^{2}_{n+1}- P_{n}.P_{n+2}= P_{n+1}\left( XP_{n} -P_{n-1}\right) -P_n\left( XP_{n+1} -P_n\right) = XP_{n+1}P_{n} - P_{n+1}P_{n-1} - XP_nP_{n+1} + P_n^2 = P_n^2 - P_{n+1}P_{n-1}\] ce qui permet de montrer le résultat par récurrence.

  2. Soit \(n\geqslant 2\). On a la relation de Bézout \(UP_n+VP_{n+1}=1\) avec \(U=P_n\) et \(V=P_{n-1}\). Donc \(P_{n}\) et \(P_{n+1}\) sont premiers entre eux.


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