Soit un entier \(n \geqslant 2\) et un complexe non-nul \(\lambda \in \mathbb{C}^{\star}\). Déterminer les couples de polynômes \((A, B) \in { \mathbb{\mathbb{C} }_{ }[X] }^2\) vérifiant : \[A^n + B^n = \lambda.\]


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[ID: 983] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 154
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:47

Soient deux polynômes \(A, B \in \mathbb{\mathbb{C} }_{ }[X]\) vérifiant \(A^n + B^n= \lambda\). En dérivant, on trouve (\(n \geqslant 2\)) : \(A^{n-1}A' = -B^{n-1}B'\). Mais \(A\wedge B = 1\) (si \(D\) est un diviseur commun à \(A\) et \(B\), il doit diviser \(\lambda\)) et donc \(A^{n-1} \wedge B^{n-1} = 1\) également. Donc puisque \(A^{n-1} | B'B^{n-1}\), d’après le théorème de Gauss, on doit avoir \(A^{n-1} | B'\). Il existe donc un polynôme \(Q \in \mathbb{\mathbb{C} }_{ }[X]\) tel que \(B = A^{n-1} Q\). Mais en notant \(p = \deg A\) et \(q = \deg B\), d’après l’équation on trouve que \(p = q\) et alors puisque \(B' = QA^{n-1}\), en examinant les degrés, on a \(\deg Q + (n-1)p = p - 1\), ce qui donne \(\deg Q = (2-n)p - 1 < 0\). Par conséquent, \(B' = 0\) et donc \(B = b\) est constant. On a également \(A=a\) constant, avec les complexes \((a, b)\) vérifiant \(a^n + b^n = \lambda\). Réciproquement, ces deux polynômes conviennent.


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