Soient deux entiers \((n, p) \in \left(\mathbb{N}^{*}\right)^2\) et un polynôme \(A \in \mathbb{\mathbb{K} }_{ }[X]\). Montrer que \[A^2 + A \mid A^{2n} + (A+1)^p - 1.\]


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[ID: 981] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 893
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:47

Soit \(T = X^{2n} + (X+1)^p - 1\). Les réels \(0\) et \(-1\) sont racines de \(T\), donc \(X(X+1) \mid T\). Autrement dit \(T = X(X+1)Q\) pour un certain polynôme \(Q\). Donc \(T\circ A = A^{2n} + (A+1)^p - 1 = A(A+1) Q\circ A\). Donc \(A(A+1) \mid P\).


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