Soit \(P,Q \in \mathbb{R}\left[X\right]\). Montrer que \[(P-Q) \mid P\circ P-Q\circ Q \Rightarrow (P-Q) \mid (P\circ Q-Q\circ P).\]


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[ID: 977] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 155
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:47

Soit \(z\in\mathbb{C}\) une racine de \(P-Q\), autrement dit \(P(z) = Q(z)\). Dire que \((P-Q) \mid P\circ P-Q\circ Q\), c’est dire que toute racine complexe de \(P-Q\), est aussi une racine de \(P\circ P-Q\circ Q\). Donc on a \(P(P(z)) = Q(Q(z))\). Mais alors on a aussi \(P(Q(z)) = Q(P(z))\). Mais on démontre ici que \(P\circ Q-Q\circ P\) a toutes les racines de \(P-Q\). C’est insuffisant. Il faut encore démontrer que les ordres de multiplicités pour \(P\circ Q-Q\circ P\) sont supérieurs à ceux pour \(P-Q\). On pourrait dériver, mais les formules (de Faà di Bruno) deviennent vite compliquées. Il vaut mieux chercher une autre voie.

On pose \(P(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^p a_k X^k\) . On a donc \(P\circ Q-P\circ P = \displaystyle\sum_{k=0}^p a_k \left( Q^k - P^k\right) = \sum_{k=1}^p a_k \left( Q^k - P^k\right)\). Or pour \(k\geqslant 1\), \(P-Q \mid Q^k - P^k = (Q-P)\left( Q^{k-1}+Q^{k-2}P + \ldots + QP^{k-2} + P^{k-1}\right)\). Donc \(P-Q \mid P\circ Q-P\circ P\). De même \(P-Q \mid Q\circ Q-Q\circ P\). Donc \(P-Q\) divise la somme \(P\circ Q-P\circ P + Q\circ Q-Q\circ P\). Comme par hypothèse \(P-Q \mid P\circ P-Q\circ Q\), on en déduit que \((P-Q) \mid P\circ P-Q\circ Q\).


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