Soit \(P\in \mathbb{\mathbb{K} }_{ }[X]\) et \(\alpha \in \mathbb{K}\). Montrer que \(\alpha\) est racine double de \(P\) si et seulement si \(\alpha\) est une racine de \(P\wedge P'\).


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[ID: 975] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1008
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:47

Si \(\alpha\) est racine double de \(P\), alors \((X-\alpha)\) divise \(P\) et \(P'\) et donc divise \(P\wedge P'\), ce qui montre que \(\alpha\) est racine de \(P\wedge P'\).

Réciproquement, si \(\alpha\) est racine de \(P\wedge P'\), comme \((X-\alpha)\) divise \(P\wedge P'\), \((X-\alpha)\) divise à la fois \(P\) et \(P'\), et donc est racine de \(P\) et \(P'\). Donc \(\alpha\) est racine double de \(P\).


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