1. Montrer que \(X^{5}-1\) et \(X^{2}+X+1\) sont premiers entre eux.

  2. Déterminer explicitement une relation de Bézout entre \(X^{5}-1\) et \(X^{2}+X+1\)


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[ID: 973] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 971
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:47
  1. Le complexe \(j\) est racine de \(X^2+X+1\). Mais il n’est pas racine de \(X^5-1\). Par conjugaison, \(\overline j\) n’est pas non plus racine de \(X^5-1\). Aucune racine dans \(\mathbb C\) de \(X^2+X+1\) n’est racine de \(X^5-1\). Par conséquent \(X^{5}-1\) et \(X^{2}+X+1\) sont premiers entre eux.

  2. On descend :
    \(\begin{array}{ccccccc} \textrm{dividende} && \textrm{quotient} && \textrm{diviseur} && \textrm{reste} \\ X^5-1 &=& (X^3-X^2+1) &\times& (X^2+X+1) &-& (X+2)\\ X^2+X+1 &=& (X-1) &\times& (X+2) &+& 3 \end{array}\)
    ce qui redémontre que \(X^{5}-1\) et \(X^{2}+X+1\) sont premiers entre eux. Maintenant, on remonte :
    \(3 = X^2+X+1 - (X-1) \times (X+2) = X^2+X+1 - (X-1) \times \left[ (X^3-X^2+1) \times (X^2+X+1) - \left( X^5-1 \right) \right] = \left( X^2+X+1\right) \left[ 1 - (X-1)(X^3-X^2+1) \right] + (X-1) \left( X^5-1 \right) = \left( X^2+X+1\right)\left( -X^4+2X^3-X^2-X+2 \right) + (X-1) \left( X^5-1 \right)\).


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