Soit \(n\geqslant 1\). Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que \((X-1)^2 \mid aX^{n+1}+bX^n +1\) dans \(\mathbb{R}\left[X\right]\). Trouver le quotient.


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[ID: 971] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 912
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:47

Notons \(P=aX^{n+1}+bX^n+1\). Le polynôme \((X-1)^2\) divise \(P\) si et seulement si \(1\) est racine double au moins de \(P\), c’est-à-dire \(P(1)=P'(1)=0\). On trouve donc que \(a=n\) et \(b=-(n+1)\). On a alors \[P=nX^{n+1}-(n+1)X^n +1 = nX^n(X-1)-(X^n-1)=(X-1)[nX^n-X^{n-1}-X^{n-2}-\dots - X -1].\] Mais en factorisant, \[nX^n-X^{n-1}-\dots-X-1 = (X-1)[nX^{n-1}+(n-1)X^{n-2}+\dots +3X^2+2X+1].\] Donc \[\boxed{ Q=\sum_{k=0}^{n-1} (k+1)X^k} .\]


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