Trouver tous les polynômes de \(\mathbb{\mathbb{R} }_{3}[X]\) divisibles par \(X-1\) ayant même reste dans les divisions euclidiennes par \((X-2), (X-3), (X-4)\).


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[ID: 967] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 783
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:47

Soit \(P\in \mathbb{\mathbb{R} }_{3}[X]\) un polynôme vérifiant ces propriétés. On pose \(\mu = P(2)\). Le polynôme \(P(X)-P(2)\) est par hypothèse divisible par \(X-2\), \(X-3\) et \(X-4\). Il est donc divisible par leur produit. Comme \(\deg P \leqslant 3\), on peut écrire \(P(X) - \mu = \lambda (X-2)(X-3)(X-4)\). La condition \(P(1) = 0\) se traduit par \(-6\lambda + \mu = 0\). Donc \(P(X) = \lambda (X^3 - 9 X^2 + 26 X - 18)\). Par division euclidienne : \[\boxed{P = \lambda (X-1)(X^2-8X+18) }.\] Réciproquement, de tels polynômes conviennent.


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