Prouver que le polynôme \(A\) divise le polynôme \(B\) et déterminer le quotient correspondant :

  1. \(A=X-1\) et \(B=X^3+X^2-X-1\)

  2. \(A=X+2\) et \(B=2X^3+5X^2+X-2\)

  3. \(A=X-i\) et \(B=X^3-2iX^2-i\)

  4. \(A=X+1\) et \(B=X^3+X^2-X-1\)


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[ID: 965] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:47] [Catégorie(s): Arithmétique des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 200
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:47
  1. On utilise le schéma de Horner : \[\xymatrix{ 1\ar[d]_{\times1} & 1\ar[d]_{\times1} & -1\ar[d]_{\times1} & -1\ar[d]_{\times1} \\ 1\ar[ur]^{+} & 2\ar[ur]^{+} & 1\ar[ur]^{+} & 0 }\] On trouve ainsi \(B(1) = 0\) et \(X^3+X^2-X-1 = (X-1)(X^2+2X+1)\)

  2. Idem. \[\xymatrix{2 \ar[d] & 5 \ar[d] & 1 \ar[d] & -2 \ar[d] \\ {\textcolor{red}{ 2}}\ar[d]_{\times(-2)} & \textcolor{red}{ 1 }\ar[d]_{\times(-2)} & {\textcolor{red}{ -1} }\ar[d]_{\times(-2)} & {\textcolor{green}{ 0}}\ar[d]_{\times(-2)} \\ -4\ar[uur]^{+}& -2\ar[uur]^{+} & 2\ar[uur]^{+} & 0 }\] Le zéro à droite de la deuxième ligne montre que \(A\) divise \(B\). Les coefficients du quotient s’affichent sur le reste de la deuxième ligne. Le quotient est \(2X^2+X-1\).

  3. Idem. \[\xymatrix{1 \ar[d] & -2i \ar[d] & 0 \ar[d] & -i \ar[d] \\ {\textcolor{red}{1}}\ar[d]_{\times i} & {\textcolor{red}{ -i}}\ar[d]_{\times i} & {\textcolor{red}{ 1}}\ar[d]_{\times i} & {\textcolor{green}{ 0}}\ar[d]_{\times i} \\ i\ar[uur]^{+} & 1\ar[uur]^{+} & i\ar[uur]^{+} & 0 }\] Le quotient est \(X^2-iX+1\). \[\xymatrix{1 \ar[d] & 1 \ar[d] & -1 \ar[d] & -1 \ar[d] \\ {\textcolor{red}{1}}\ar[d]_{\times (-1)} & {\textcolor{red}{ 0}}\ar[d]_{\times (-1)} & {\textcolor{red}{-1}}\ar[d]_{\times (-1)} & {\textcolor{green}{ 0}}\ar[d]_{\times (-1)} \\ -1\ar[uur]^{+} & 0\ar[uur]^{+} & 1\ar[uur]^{+} & 0 }\]

  4. Idem. Le quotient est \(X^2-1\).


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