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Exercice 362
Quels sont les polynômes de \(\mathbb{C}[X]\) tels que leur fonction polynôme associée soit une surjection de \(\mathbb{C}\) sur \(\mathbb{C}\) ?
Quels sont les polynômes de \(\mathbb{R}[X]\) tels que leur fonction polynôme associée soit une surjection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\) ?
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[ID: 963] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:23] [Catégorie(s): Dérivation, formule de Taylor ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 362
Par Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces le 25 janvier 2021 15:23
Par Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces le 25 janvier 2021 15:23
Ce sont tous les polynômes \(P\) de degré \(\geqslant 1\). En effet, soit \(z\in\mathbb{C}\), le polynôme \(P -z\) admet au moins une racine \(\alpha\) d’après le théorème fondamental de l’algèbre. Cela signifie que \(P(\alpha) = z\) et donc que la valeur \(z\) est atteinte par \(P\). Donc \(P\) est une surjection de \(\mathbb{C}\) sur \(\mathbb{C}\).
Ce sont les polynômes de degré impair.
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