Déterminer tous les polynômes \(P\in \mathbb{R}_{ }[X]\) vérifiant: \[P(X+1)-2P(X)+P(X-1)=0\]
( ).
Utiliser une formule de Taylor.

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[ID: 961] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:23] [Catégorie(s): Dérivation, formule de Taylor ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 891
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:23

Écrivons les deux formules de Taylor: \[P(X+1)=P(X)+P'(X)+\dfrac{1}{2!}P''(X)+\dots +\dfrac{1}{n!}P^{(n)}(X),\] \[P(X-1)=P(X)-P'(X)+\dfrac{1}{2!}P''(X)+\dots + \dfrac{(-1)^n}{n!}P^{(n)}(X)\]\(n=\deg P\). Alors la condition de l’énoncé dit que: \[{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2!} P''(X)+ \dfrac{1}{4!}P^{(4)}(X) +\dots =0 .\] Mais alors \(P''(X)=0\). En effet, si \(P''(X)\neq 0\), \(P''(X)=a_nX^n +\dots\) avec \(a_n\neq 0\). Mais en cherchant le terme en \(X^n\) dans l’égalité précédente, on trouve qu’il vaut \(a_nX^n\) (tous les polynômes \(P^{(4)}\), …sont de degré strictement inférieur à \(n\)). Donc \(P\) est un polynôme de degré \(\leqslant 1\): \[P(X)=aX+b .\] Et on vérifie réciproquement que tout polynôme de cette forme convient.

Une autre solution : On résout \(P(X+1) - P(X) = 0\). L’ensemble des solutions est l’ensemble des polynômes constants. On résout ensuite \(P(X+1) - P(X) = c\). L’ensemble des solutions est l’ensemble des polynômes \(cX+d\). Maintenant \(P(X+2) - 2P(X+1) + P(X) = D(D(P))\) avec \(D(P) = P(X+1) - P(X)\). On en déduit que les polynômes de degré \(\leqslant 1\) sont les solutions de \(P(X+2) - 2P(X+1) + P(X) = 0\) puis que les polynômes de degré \(\leqslant 1\) sont les solutions de \(P(X+1) - 2P(X) + P(X-1) = 0\).


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