Déterminer les polynômes non-constants \(P\in\mathbb{R}\left[X\right]\) tels que \(P'\) divise \(P\)
( ).
Étudier le degré du quotient et utiliser la formule de Leibniz

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[ID: 959] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:23] [Catégorie(s): Dérivation, formule de Taylor ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 734
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:23

Soit \(P\in\mathbb{R}\left[X\right]\) une solution de l’équation. Il existe \(Q\in\mathbb{R}\left[X\right]\) tel que \(P=QP'\). On a forcément \(\deg Q =1\) et donc \(Q=\lambda(X-a)\)\(a,\lambda\in\mathbb{R}\). En identifiant les coefficients de \(X^n\), on trouve \(\lambda={\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\) et donc: \[nP=(X-a)P' .\] On utilise alors la formule de Leibniz. Pour tout \(k\in\mathbb{N}\), il vient : \(nP^{(k)} = (X-a)P^{(k+1)}+ kP^{(k)}\). D’où \((n-k) P^{(k)}=(X-a)P^{(k+1)}\). On a alors \(P^{(k)}(a)=0\) pour \(k\in \llbracket 0,n-1\rrbracket\) et donc \((X-a)^n \mid P\). Alors \(P=\lambda (X-a)^n\). On vérifie réciproquement que tout polynôme de cette forme convient.


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