Trouver tous les polynômes \(P\in \mathbb{\mathbb{R} }_{ }[X]\) vérifiant:

  1. \(P-XP'=X\)

  2. \(P'^2=9P\)

  3. \(\left(X^2+4\right)P''=6P\).


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[ID: 957] [Date de publication: 25 janvier 2021 15:23] [Catégorie(s): Dérivation, formule de Taylor ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 372
Par emmanuel le 25 janvier 2021 15:23
  1. Soit \(P\in \mathbb{\mathbb{R} }_{ }[X]\). Supposons que \(P-XP'=X\). Alors \(P\neq 0\). Notons \(n=\deg P\). Comme \(\deg(P-XP')\leqslant n\), il faut que \(n\geqslant 1\). Mais si l’on cherche le coefficient de \(X^n\) dans \(P-XP'\), on trouve \((n-1)a_n\). Par conséquent, si \(n=1\), \(\deg(P-XP')\leqslant 0\) et ce n’est pas possible, et si \(n\geqslant 2\), \(\deg(P-XP')=n\), ce qui n’est pas possible non plus. Il n’existe donc aucun polynôme vérifiant la propriété.

  2. Le polynôme nul est solution de l’équation. Supposons que \(P\in \mathbb{\mathbb{R} }_{ }[X]\) soit solution de l’équation. Alors \(2\left(\deg P-1\right)=\deg P\) et donc \(\deg P=2\). On a alors \(P=aX^2+bX+c\) avec \(a,b,c\in\mathbb{R}\). En injectant dans l’équation, on trouve \(P=0\) ou \(\boxed{P=9/4 X^2+b X+b^2/9}\). Réciproquement ces polynômes conviennent.

  3. Le polynôme nul est solution de l’équation, c’est même le seul polynôme de degré \(\leqslant 1\) solution de l’équation. Supposons que \(P\in \mathbb{\mathbb{R} }_{ }[X]\) soit solution et de degré \(n\geqslant 2\). Raisonnant sur le monôme de degré \(n\) dans \(P\), on obtient : \(n\left(n-1\right)=6\) ce qui donne \(n=3\). On vérifie par ailleurs que les seuls polynômes de la forme \(aX^3+bX^2+cX+d\in\mathbb{R}_3\left[X\right]\) solutions de l’équation sont ceux de la forme : \(\boxed{aX^3+4aX}\) avec \(a\in \mathbb{R}\).


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