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Exercice 241
On considère un polynôme \(P = a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n \in \mathbb{\mathbb{C} }_{}[X]\) à coefficients complexes et l’on note \[M = \sup_{z \in \mathbb{C} ,~\lvert z \rvert = 1} \left| P(z) \right|\]
On note pour tout \(k \in \llbracket 0,n\rrbracket\), \(\omega_k\) les \(n+1\) racines \((n+1)\)ième de l’unité. Pour \(p \in [\kern-0.127em[ 0, n ]\kern-0.127em]\), calculer la somme \[S_p = \sum_{k=0}^n \omega_k^{-p} P(\omega_k)\]
En déduire que \(\forall p \in \llbracket 0,n\rrbracket\), \(\lvert a_p \rvert \leqslant M\).
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[ID: 955] [Date de publication: 25 janvier 2021 14:48] [Catégorie(s): L'anneau des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 241
Par Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces le 25 janvier 2021 14:48
Par Alain Soyeur Emmanuel Vieillard-Baron François Capaces le 25 janvier 2021 14:48
En notant \(\omega=e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle n+1}}\) la racine n+1 ième de l’unité, \[S_p = \sum_{k=0}^n \omega^{-kp} \sum_{j=0}^n a_j\omega^{jk} = \sum_{j=0}^n a_j \Bigl( \sum_{k=0}^n \omega^{k(j-p)}\Bigr) .\] Mais \[\sum_{k=0}^n \left(\omega^{j-p}\right)^k = \begin{cases} (n+1) & \textrm{ si } j = p \\ 0 & \textrm{ sinon } \end{cases}.\] Par conséquent, \(\forall p \in [\kern-0.127em[ 0, n ]\kern-0.127em]\), \(S_p = (n+1)a_p\).
Soit \(p \in [\kern-0.127em[ 0, n ]\kern-0.127em]\). Avec l’inégalité triangulaire, \[\bigl|(n+1)a_p\bigr| = \Bigl| \sum_{k=0}^n \omega_k^{-p}P(\omega_k)\Bigr| \leqslant\sum_{k=0}^n \lvert P(\omega_k) \rvert \leqslant(n+1) M\] d’où le résultat.
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