Soit \(f(z) = a_0 + a_1z + \ldots + a_nz^n\) une fonction polynomiale définie sur \(\mathbb{C}\). Les scalaires \(a_0, a_1,\ldots, a_n\) sont \(n+1\) nombres complexes tels que \(\forall\,z\in\mathbb{C}, f(z) = 0\). On se propose de redémontrer que les \(a_k\) sont tous nuls.
Pour cela on calculera pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\) l’intégrale \(I_k = \displaystyle\int_0^{2\pi} f\left( e^{i\vartheta}\right)e^{-ik\vartheta}\,\textrm d\vartheta\) de deux façons différentes.


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[ID: 953] [Date de publication: 25 janvier 2021 14:48] [Catégorie(s): L'anneau des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 515
Par emmanuel le 25 janvier 2021 14:48

On a \(f(z) = 0\) pour tout \(z\) complexe, c’est donc vrai a fortiori pour tous les complexes de module \(1\). Donc \(\forall \vartheta\in \left[ 0,2\pi\right]\), \(f\left( e^{i\vartheta}\right) = 0\) et donc \(I_k = 0\).
D’autre part \(I_k = \displaystyle\int_0^{2\pi} \left( \sum_{m=0}^n a_m e^{im\vartheta}\right) e^{-ik\vartheta}\,\textrm d\vartheta = \sum_{m=0}^n a_m \int_0^{2\pi}e^{i(m-k)\vartheta}\,\textrm d\vartheta\). Or pour \(p\in\mathbb Z^*\), \(J_p = \displaystyle\int_0^{2\pi} e^{ip\vartheta}\,\textrm d\vartheta = \left[ \dfrac{e^{ip\vartheta}}{ip}\right]_0^{2\pi} = 0\) et \(J_0 = 2\pi\). Donc \(I_k = 2\pi a_k\).
On en déduit \(a_k = 0\) et ce pour tout \(k\in\llbracket 0,n\rrbracket\).


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