Trouver tous les polynômes \(P,Q\in \mathbb{\mathbb{C} }_{}[X]\) vérifiant :

  1. \(P(X^2) = XP(X)\)

  2. \(P(X)^2 = XP(X + 1)\)

  3. \(P(X) - P(X-1) = X^2\)

  4. \((X+3)P(X)=XP(X+1)\)


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[ID: 951] [Date de publication: 25 janvier 2021 14:48] [Catégorie(s): L'anneau des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 400
Par emmanuel le 25 janvier 2021 14:48
  1. Le polynôme nul est solution de l’équation. Soit \(P\) un polynôme non nul vérifiant l’égalité. On a \(2\deg P=\deg P+1\) ce qui n’est possible que si \(\deg P=1\). \(P\) est donc de la forme \(P=aX+b\) avec \(a,b\in\mathbb{C}\). Mais \(P\) doit vérifier : \(aX^2+b=X\left(aX+b\right)\) et donc on a : \(b=0\). Réciproquement, on vérifie que les polynômes de la forme \(aX\) avec \(a\in\mathbb{C}\) sont solutions de l’équation.

  2. Le polynôme nul est solution de l’équation. Soit \(P\) un polynôme non nul vérifiant l’égalité. On a \(2\deg P=\deg P+1\) ce qui n’est possible que si \(\deg P=1\). \(P\) est donc de la forme \(P=aX+b\) avec \(a,b\in\mathbb{C}\). Mais \(P\) doit vérifier : \(\left(aX+b\right)^2=X\left(a\left(X+1\right)+b\right)\) ce qui n’est possible que si \(a=b=0\). Seul le polynôme nul est solution de l’équation.

  3. Soit \(P\) un polynôme solution de l’équation. Comme \(\deg\left(P\left(X\right)-P\left(X-1\right)\right)=\deg P-1\), on a : \(\deg P - 1 = 2\) et donc \(\deg P=3\). On pose \(P_1 = P - P(0)\). \(P_1\) est aussi une solution et est de la forme \(P_1=aX^3+bX^2+cX\) avec \(a,b,c\in\mathbb{C}\). Injectant dans l’égalité on trouve alors \(P_1= {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}X^3 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}X^2+ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6}X\) qui est l’unique solution de l’équation dont la valuation égale \(1\). On obtient toutes les solutions de l’équation en ajoutant les termes constants \(\boxed{P= {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}X^3 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}X^2+ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6}X} + c\).

  4. On vérifie que le polynôme nul est solution de l’équation. Soit \(P=a_nX^n+\dots+a_0 \in \mathbb{\mathbb{R} }_{}[X]\) un polynôme non nul de degré \(n\in\mathbb{N}\) solution de l’équation. On identifie les coefficients des termes de degré \(n\) dans l’égalité \((X+3)P(X)=XP(X+1)\) et on obtient : \(n a_n = 3 a_n\)1 . Comme \(a_n\neq 0\), nécessairement \(n=3\) et \(\deg P=3\). Cherchons alors les polynômes de la forme \(P=aX^3+bX^2+cX+d \in\mathbb{R}\left[X\right]\) solutions de l’équation. On obtient le système \[\begin{cases}b-3a=0\\ 2c-a-b=0\\ d=0\end{cases}\] qui admet comme ensemble solution \(\left\{\left(a,3a,2a,0\right)~|~ a\in\mathbb{R}\right\}\). Les polynômes solutions de l’équation sont alors les \(a\left(X^3+3X^2+2X\right),a\in\mathbb{R}\).


  1. 1  On peut aussi traiter le problème ainsi. L’égalité \((X+3)P(X)=XP(X+1)\) est équivalente à \(X\left(P\left(X+1\right)-P\left(X\right)\right)=3P\left(X\right)\) et la formule de Taylor pour les polynômes amène : \(3P\left(X\right) = X\left(P'\left(X\right)+\dfrac{P''\left(X\right)}{2!}+\dots+\dfrac{P^{\left(n\right)}\left(X\right)}{n!}\right)\). Il est alors facile d’identifier les coefficients des termes de degré \(n\) et on retrouve \(n a_n = 3 a_n\)

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