Trouver tous les polynômes \(P,Q\in \mathbb{\mathbb{C} }_{}[X]\) vérifiant :

  1. \(Q^2(X)=XP^2(X)\).

  2. \(P\circ P=P\).

  3. \(P(X^2) = P(X)\)

  4. \(P(X+1)=XP(X)\)


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[ID: 949] [Date de publication: 25 janvier 2021 14:47] [Catégorie(s): L'anneau des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 756
Par emmanuel le 25 janvier 2021 14:48
  1. Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes vérifiant l’égalité. On a alors \(2\deg Q = 2 \deg P+1\) ce qui est impossible à moins que \(P=Q=0\). On vérifie réciproquement que si \(P=Q=0\) alors \(P\) et \(Q\) vérifient l’égalité.

  2. Le polynôme nul est solution de l’équation. Soit \(P\) un polynôme non nul vérifiant l’égalité. On a \(\left(\deg P\right)^2=\deg P\) ce qui amène \(\deg P=1\) ou \(\deg P=0\). Si \(\deg P=1\) alors il existe \(a,b\in\mathbb{C}\) tels que \(P=aX+b\). On a alors \(P\circ P=P\) si et seulement si \(a=1\) et \(b=0\) donc si et seulement si \(P=X\). Si \(\deg P=0\), \(P\) est alors un polynôme constant et on vérifie facilement que \(P\) est solution de l’équation. L’ensemble des solutions de l’équation est donc \(\boxed{ \left\lbrace X,\alpha~|~\alpha \in \mathbb{C}\right\rbrace }\).

  3. Le polynôme nul est solution de l’équation. Soit \(P\) un polynôme non nul vérifiant l’égalité. On a \(2\deg P=\deg P\) ce qui n’est possible que si \(\deg P=0\) c’est-à-dire que si \(P\) est un polynôme constant. On vérifie que tout polynôme constant est solution de l’équation et l’ensemble des solutions de l’équation est l’ensemble des polynômes constants.

  4. On vérifie que le polynôme nul est solution de l’équation. Supposons qu’il existe un polynôme \(P\in \mathbb{\mathbb{R} }_{}[X]\) non nul solution de l’équation. Alors \(\deg P=\deg P\left(X+1\right)=1+\deg P\) ce qui n’a pas de sens. Donc la seule solution de l’équation est le polynôme nul.


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