Calculer \(S = (n-1) + (n-2)\times2 + \ldots + 2(n-2) + (n-1)\).

( ).
On pourra proposer deux solutions :
  • une première par un calcul direct,

  • une seconde en s’intéressant au polynôme \(P= \sum_{k=0}^{n} X^k\) et plus précisément à la dérivée seconde de \({P^2}\).


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[ID: 947] [Date de publication: 25 janvier 2021 14:47] [Catégorie(s): L'anneau des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 42
Par emmanuel le 25 janvier 2021 14:47
  1. Tout d’abord un calcul sans malice : \[S = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} k(n-k) = n \sum_{k=0}^{n} k - \sum_{k=0}^{n} k^2 = n\dfrac{n(n+1)}{2} - \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \dfrac{n(n+1)}{6}\left[ 3n - 2n - 1\right] = \dfrac{n(n+1)(n-1)}{6}.\]

  2. Soit \(P = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} X^k\), on a \(P' = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} kX^{k-1}\) et \(P'' = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} k(k-1)X^{k-2}\). La somme \(S\) est le coefficient de degré \(n-1\) dans le polynôme \((P')^2\). Par ailleurs \((P^2)' = 2PP'\) et \((P^2)'' = 2P'^2 + 2 PP''\). Le coefficient de \(X^{n+1}\) dans \(P^2\) est \(n+1\). En dérivant deux fois, Le coefficient de \(X^{n-1}\) dans \((P^2)''\) est \((n+1)(n+1)n\). D’autre part le coefficient de \(X^{n-1}\) dans \((P^2)''\) est \[(n+1)n + n(n-1) + \ldots + 2\times1 = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} (k+1)k = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \dfrac{n(n+1)}{2}.\] On en déduit \(n(n+1)^2 = 2S + \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1)\), d’où \(2S = n(n+1) \left[ (n+1) - 1 - \dfrac{2n+1}{3}\right] = \dfrac{n(n+1)(n-1)}{3}\). On retrouve bien le même résultat.


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