Déterminer les coefficients de

  1. \((1 + X + X^2 + \ldots + X^n)^2\).

  2. \((1 - X + X^2 + \ldots + (-1)^nX^n)^2\).

  3. \((1 + X + X^{2}+ \ldots + X^{n})(1 - X + X^{2}- \ldots + (-1)^{n}X^{n})\).


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[ID: 945] [Date de publication: 25 janvier 2021 14:47] [Catégorie(s): L'anneau des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 51
Par emmanuel le 25 janvier 2021 14:47
  1. En développant \((1 + X + X^2 + \ldots + X^n)\times(1 + X + X^2 + \ldots + X^n) = \displaystyle\sum_{k=0}^{2n} a_k X^k\), on trouve \(a_k = k+1\) pour \(0\leqslant k \leqslant n\) et \(a_k = 2n+1 - k\) pour \(n\leqslant k \leqslant 2n\).

  2. D’après le résultat précédent, en composant par le polynôme \(-X\), on trouve :
    \((1 - X + X^2 + \ldots + (-1)^nX^n)^2 = \displaystyle\sum_{k=0}^n (-1)^k (k+1)X^k + \sum_{k=n+1}^{2n} (-1)^k (2n+1 - k) X^k\).

  3. Si \(k\leqslant n\), le coefficient \(a_k\) de \(X^k\) est \((-1)^k\left( 1 - 1 + 1 - \ldots \right)\) sachant qu’il y a \(k+1\) termes dans la parenthèse. Donc \(a_k=1\) lorsque \(k\) est pair et \(a_k=0\) lorsque \(k\) est impair. Maintenant, lorsque \(n\leqslant k\leqslant 2n\), on écrit \(k = n+\ell\) et le coefficient de \(X^k\) est \((-1)^{\ell} + (-1)^{\ell+1} + \ldots + (-1)^n\) soit \(n-\ell + 1\). Là encore si \(n-\ell + 1\) est pair tous les termes s’annulent et le coefficient \(a_k\) est nul. Cela se produit lorsque \(n - (k-n)+1\) est pair c’est-à-dire lorsque \(k\) est impair. Sinon, lorsque \(k\) est pair \(a_k\) est égal au premier (ou au dernier) terme de la somme, à savoir \((-1)^{\ell} = (-1)^{k-n} = (-1)^n\) puisque \(k\) est pair.
    Exemples :

    • \(n\) est pair, \((1 + X + X^2 + X^3 + X^4)(1 - X + X^2 - X^3 - X^4) = 1 + X^2 + X^4 + X^6 + X^8\).

    • \(n\) est impair, \((1 + X + X^2 + X^3 + X^4 + X^5)(1 - X + X^2 - X^3 - X^4 + X^5) = 1 + X^2 + X^4 - X^6 - X^8 - X^{10}\).


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