Soit \(P\) le polynôme \(P(X) = (1+X)(1+qX)(1+q^{2}X)\ldots (1+q^{n-1}X), (q\neq 1)\). Établir une relation entre \(P(qX)\) et \(P(X)\). En déduire la valeur des coefficients de \(P\).


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[ID: 943] [Date de publication: 25 janvier 2021 14:47] [Catégorie(s): L'anneau des polynômes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 37
Par emmanuel le 25 janvier 2021 14:47

On a \((1+X)P(qX) = (1+q^nX)P(X)\). En posant \(P(X) = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k X^k\), on en déduit que pour \(k\geqslant 1\), \(a_k\left( 1-q^k\right) = a_{k-1}\left( q^{k-1} - q^n\right)\). Comme \(a_0 = 1\), il vient alors \(a_k = \dfrac{1-q^n}{1-q}\times \dfrac{q-q^n}{1-q^n}\times\ldots\times\dfrac{q^{k-1}-q^n}{1-q^k}\).


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