Posons \(\omega=e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 7}}\) et considérons \(X=\omega+\omega^2+\omega^4\) et \(Y=\omega^3+\omega^5+\omega^6\).

  1. Montrer que \(Y=\overline X\) et que \(\mathop{\rm Im}X>0\).

  2. Calculer \(X+Y\) et \(XY\). En déduire que \(X\) et \(Y\) sont solutions d’une équation du second degré puis calculer \(X\) et \(Y\).

  3. Exprimer \(\mathop{\rm Re}X\) en fonction de \(\cos {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7}\).

  4. En déduire que \(\cos {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7}\) est une racine du polynôme \(8x^3+4x^2-4x-1=0\).


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[ID: 92] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:41] [Catégorie(s): Polynômes, équations, racines de l'unité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




Solution(s)

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Exercice 985
Par emmanuel le 4 janvier 2021 17:41

On remarque que \(\omega\) est une racine septième de l’unité.

  1. On remarque que \(\overline \omega=\omega^6\), \(\overline \omega^2=\omega^5\) et \(\overline \omega^4=\omega^3\). Il est donc clair que \(Y=\overline X\). Par ailleurs, comme \({\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7},{\scriptstyle 4\pi\over\scriptstyle 7}\in\left[0,\pi\right]\), on a : \(\sin{\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7}>0\) et \(\sin{\scriptstyle 4\pi\over\scriptstyle 7}>0\). De plus \(\left|\sin {\scriptstyle 8\pi\over\scriptstyle 7}\right|=\sin{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 7}<\sin{\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7}\) car \(\sin\) est croissante sur \(\left[0,{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right]\). Donc \(\mathop{\rm Im}X=\sin{\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7}+ \sin{\scriptstyle 4\pi\over\scriptstyle 7}+ \sin{\scriptstyle 8\pi\over\scriptstyle 7} >0\).

  2. On applique le cours : \(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6= \dfrac{1-\omega^7}{ 1-\omega}=0\) car \(\omega^7=1\). Il vient alors que \(X+Y=-1\).Par ailleurs \[XY=\omega^4+\omega^5+\omega^6+3\omega^7+\omega^8+\omega^9+\omega^{10} =\omega^4+ \omega^5+\omega^6+3+\omega+\omega^2+\omega^3=2.\] En utilisant les relations entre les coefficients et les racines d’un trinôme du second degré, on obtient que \(X\) et \(Y\) sont racines du trinôme \(X^2+X+2\). On en déduit que, comme \(\mathop{\rm Im}X>0\), \(X=-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+i{\scriptstyle\sqrt{7}\over\scriptstyle 2}\) et que \(Y=-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}-i{\scriptstyle\sqrt{7}\over\scriptstyle 2}\).

  3. Remarquons que \(\mathop{\rm Re}\left(\omega^4\right)=\mathop{\rm Re}\left(\omega^3\right)\). Donc : \[\begin{aligned} \mathop{\rm Re}X&=&\mathop{\rm Re}\left(\omega+\omega^2+\omega^4\right)\\ &=&\mathop{\rm Re}\left(\omega+\omega^2+\omega^3\right)\\ &=&\cos {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7} + \cos 2{\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7} + \cos 3{\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7}\\ &=&\cos {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7} + 2\cos^2 {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7}-1 + 4\cos^3{\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7}-3\cos {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7}\\ &=& 4\cos^3{\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7} +2\cos^2 {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7}-2 \cos {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7}-1\end{aligned}\]

  4. Comme \(\mathop{\rm Re}\left(X\right)=-1/2\), l’égalité précédente devient : \[-\dfrac{1}{2}= 4\cos^3{\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7} +2\cos^2 {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7}-2 \cos {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7}-1\] Soit : \[8\cos^3{\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7} +4\cos^2 {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7}-4 \cos {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7}-1=0\] et on prouve que \(\cos {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 7}\) est une racine du polynôme.


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