Soit \(n\in\mathbb{N}\), \(n\geqslant 1\) et soit \(\omega\in\mathbb U_n\). On dit que \(\omega\) est une racine primitive \(n\)-ième de l’unité si et seulement si toute racine \(n\)-ième de l’unité s’écrit comme une puissance de \(\omega\). Autrement dit : \[\mathbb U_n= \left\{\omega^k~|~ k\in\mathbb{Z}\right\}\]

Soit \(k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket\). Montrer que \(\omega=e^{{\scriptstyle 2ik\pi\over\scriptstyle n}}\) est une racine primitive \(n\)-ième de l’unité si et seulement si \(k\) est premier avec \(n\).

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[ID: 90] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:41] [Catégorie(s): Polynômes, équations, racines de l'unité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




Solution(s)

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Racines primitives de l’unité
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 17:41

  • Par contraposée, si \(k\) et \(n\) ne sont pas premiers entre eux, alors ils admettent un diviseur commun \(d\neq \pm 1\) : \(n=d n'\) et \(k=dk'\) avec \(n',k'\in\mathbb{N}\). En particulier, \(w^{n'}=\left(e^{{\scriptstyle 2i\pi k' d\over\scriptstyle n}}\right)^{n'}=1\) et \[\left\{w^r ~|~ r \in \mathbb{N}\right\}\subset \mathbb U_{n'} \varsubsetneq \mathbb U_n\] car \(n'<n\). On en déduit que \(\omega\) n’est pas primitive.

  • Si \(k\) et \(n\) sont premiers entre eux alors d’après le théorème de Bézout, il existe \(a,b\in\mathbb{Z}\) tels que \(ak+bn=1\). Donc pour tout \(l\in\llbracket 0,n-1\rrbracket\), \[\left(e^{{\scriptstyle 2ik\pi\over\scriptstyle n}}\right)^{al} = e^{{\scriptstyle 2ikal\pi\over\scriptstyle n}}=e^{{\scriptstyle 2i\left(1-bn\right)l\pi\over\scriptstyle n}}=e^{{\scriptstyle 2il\pi\over\scriptstyle n}}\] et \(\omega\) est bien primitive.

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