Pour \(n\geqslant 2\), on note \(\omega =e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle n}}\). Calculer les sommes suivantes: \[S_1=\mbox{$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \omega ^{kp} $} \quad(p\in \mathbb{Z} ) ,\quad\quad S_2=\mbox{$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}{\displaystyle\Big({{\textstyle n}\atop {\textstyle k}}\Big)}\omega ^k $} ,\quad \quad S_3= \mbox{$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\left| \omega ^k-1\right| $} .\]


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[ID: 88] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:41] [Catégorie(s): Polynômes, équations, racines de l'unité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




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Exercice 520
Par emmanuel le 4 janvier 2021 17:41
  • La première somme est géométrique de raison \(\omega^{p}\). La raison est différente de \(1\) si et seulement si \(p\) n’est pas un multiple de \(n\). Alors \[S_1= \dfrac{ \omega^{pn}-1}{\omega^p-1}= \boxed{0}\] Si \(p\) est un multiple de \(n\), on trouve \(S_1= n\).

  • La deuxième somme se calcule grâce à la formule du binôme : \[S_2= \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}\omega^k -\omega^n = (1+\omega)^n -1 = \boxed{-2^n\cos^n{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle n} -1 }\] en utilisant la factorisation par l’angle moitié

  • La troisième somme se calcule en remarquant que \[\left| \omega^k -1\right| = 2\left| \sin {\scriptstyle k\pi\over\scriptstyle n}\right| = 2\sin{\scriptstyle k\pi\over\scriptstyle n}\] La première égalité est une conséquence de la factorisation de l’angle moitié et la seconde provient du fait que sinus est positif si \(k\in \llbracket 0,n-1\rrbracket\). On introduit alors la somme \(E\) des exponentielles imaginaires correspondante que l’on calcule et finalement, \[E = 2\sum_{k=0}^{n-1} e^{{\scriptstyle ik\pi\over\scriptstyle n}} = 2\dfrac{ e^{i\pi}-1}{e^{i{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle n}}-1} = \dfrac{2ie^{-{\scriptstyle i\pi\over\scriptstyle 2n}} }{ \sin {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2n}}\] \[S_3= \mathop{\mathrm{Im}}(E)= \boxed{2\mathop{\mathrm{cotan}}\left( {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2n}\right) }\]


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