Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \[1 + 2z + 2z^2 + \cdots + 2z^{n-1} + z^n = 0\]

Multiplier par \((1-z)\).

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[ID: 86] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:41] [Catégorie(s): Polynômes, équations, racines de l'unité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




Solution(s)

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Exercice 371
Par emmanuel le 4 janvier 2021 17:41

Soit \(z\) une solution de l’équation. Comme \(1\) n’est pas solution de l’équation, nécessairement \(z\neq 1\). En multipliant l’équation par \((1-z)\), on se ramène à l’équation équivalente : \[(1+z)(1-z^n) = 0\] Les solutions de cette équation sont les racines \(n\)-ièmes de l’unité différentes de \(1\) ainsi que \(-1\).


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