Soit \(n\in\mathbb{N}\), \(n\geqslant 2\). Calculer le produit des éléments de \(\mathbb U_n\).


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[ID: 84] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:40] [Catégorie(s): Polynômes, équations, racines de l'unité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




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Exercice 762
Par emmanuel le 4 janvier 2021 17:41

\[\begin{aligned} \prod_{\xi \in \mathbb U_n} \xi = \prod_{k=0}^{n-1} e^{{\scriptstyle 2ik\pi\over\scriptstyle n}} = \prod_{k=0}^{n-1} \left(e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle n}}\right)^k = \left(e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle n}}\right)^{1+2+\dots+n-1} = \left(e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle n}}\right)^{{\scriptstyle n\left(n-1\right)\over\scriptstyle 2}} = e^{{\scriptstyle 2i\pi n\left(n-1\right)\over\scriptstyle 2n}} = e^{i\left(n-1\right)\pi} = \boxed{\left(-1\right)^{n-1}} \end{aligned}\]


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