Soit \(\omega\) une racine \(n\)-ième de l’unité différente de \(1\). On pose \[S=\sum_{k=0}^{n-1} \left(k+1\right)\omega^k.\] Déterminer une valeur de \(S\).

On pourra calculer \(\left(1-\omega\right)S\).

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[ID: 82] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:40] [Catégorie(s): Polynômes, équations, racines de l'unité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




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Exercice 938
Par emmanuel le 4 janvier 2021 17:40

\[\begin{aligned} \left(1-\omega\right)S&=&\left(1-\omega\right)\sum_{k=0}^{n-1} \left(k+1\right)\omega^k \\ &=& \sum_{k=0}^{n-1} \left(k+1\right)\left(\omega^k -\omega^{k+1}\right)\\ &=& \left(1-\omega\right) + 2\left(\omega-\omega^2\right) + 3 \left(\omega^2-\omega^3\right)+\dots+n\left(\omega^{n-1}-\omega^n\right)\\ &=& \underbrace{1 + \omega +\omega^2 + \dots+\omega^{n-1}}_{=0}+ n\omega^n \textrm{ par télescopage}\\ &=& n\end{aligned}\] et \(\boxed{S={\scriptstyle n\over\scriptstyle\omega -1}}\).


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