Résoudre \[z^3=\overline{z}\]


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[ID: 80] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:40] [Catégorie(s): Polynômes, équations, racines de l'unité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




Solution(s)

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Exercice 902
Par emmanuel le 4 janvier 2021 17:40

On remarque que \(z=0\) est une solution de cette équation. Supposons alors \(z\neq 0\). En prenant les modules, on a : \(\left|z\right|^3=\left|\overline{z}\right|=\left|z\right|\) et donc :\(\lvert z \rvert =1\). Si \(z\) est solution, alors en multipliant par \(z\) on trouve que \(z^4=\lvert z \rvert ^2=1\) d’où \(z\in \{1,i,-1,-i\}\). On vérifie réciproquement que ces solutions conviennent. L’ensemble solution de l’équation est donc : \(\boxed{\{0,1,i,-1,-i\}}\).


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