Résoudre les équations suivantes d’inconnue \(z\in \mathbb{C}\):

  1. \(1+\dfrac{z+i}{z-i}+{\left( \dfrac{z+i}{z-i}\right) }^{2}+{\left( \dfrac{z+i}{z-i}\right) }^{3}=0\)

  2. \({\left( z+i\right) }^{n}={\left( z-i\right) }^{n}\)


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[ID: 78] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:40] [Catégorie(s): Polynômes, équations, racines de l'unité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




Solution(s)

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Exercice 731
Par emmanuel le 4 janvier 2021 17:40
  1. Soit \(z\) une solution de la première équation. On a nécessairement \(z\neq i\) car \(i\) n’est pas une solution de l’équation. Posons \(Z=\dfrac{z+i}{z-i}\). Ce complexe vérifie \(1+Z+Z^2+Z^3=0\). Remarquons que \(Z\neq 1\) car il n’existe pas de complexe \(z\) tel que \(\dfrac{z+i}{z-i}=1\). Donc \(1+Z+Z^2+Z^3=\dfrac{1-Z^4}{1-Z}\) et \(Z\) vérifie : \(1-Z^4=0\). Le complexe \(Z\) est donc une racine quatrième de l’unité différente de \(1\), ce qui amène \(Z=i,-1,-i\). On écrit ensuite que \(z=i\dfrac{Z+1}{Z-1}\) et on trouve les trois solutions \(\boxed{z=1,0,-1}\). On vérifie réciproquement que ces trois nombres sont solutions de l’équation.

  2. Considérons maintenant une solution \(z\) de la deuxième équation. Comme précédemment, il est clair que \(z\neq i\). Posons \(U=\dfrac{z+i}{z-i}\). Il vient alors \(U^n=1\) et donc \(U\) est une racine \(n\)-ième de l’unité différente de 1 : \(U=e^{{\scriptstyle 2ik\pi\over\scriptstyle n}}\) avec \(k\in\llbracket 1,n-1\rrbracket\). On écrit alors que \[z=i\dfrac{U+1}{U-1}=i\dfrac{e^{{\scriptstyle 2ik\pi\over\scriptstyle n}}+1}{e^{{\scriptstyle 2ik\pi\over\scriptstyle n}}-1}\] Après factorisation par l’angle moitié, on trouve que \(\boxed{z\in \left\lbrace \mathop{\mathrm{cotan}}{\scriptstyle k\pi\over\scriptstyle n}; k\in \llbracket 0,n-1\rrbracket\right\rbrace }\). On vérifie réciproquement que ces nombres sont solutions de l’équation.


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