1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\), l’équation \[(1 + iz)^5 = (1 - iz)^5 ~ \left(\star\right).\]

  2. En déduire les valeurs de \(\tan\dfrac{\pi}{5}\) et \(\tan\dfrac{2\pi}{5}\), que l’on exprimera sous la forme : \[\sqrt{p + q\sqrt{n}}, \quad(n,p,q) \in \mathbb{N}^{2}\times \mathbb{Z}\]

  3. En déduire la valeur de \(\tan\dfrac{\pi}{10}\).


Barre utilisateur

[ID: 76] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:40] [Catégorie(s): Polynômes, équations, racines de l'unité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 752
Par emmanuel le 4 janvier 2021 17:40
  1. Soit \(z\) une solution de \(\left(\star\right)\). \(z \neq -i\) donc \(1-iz\neq 0\). Posons \(U = \dfrac{1+iz}{1-iz}\). Le nombre complexe \(U\) doit vérifier \(U^5 = 1\). En posant \(\omega = e^{i{\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 5}}\), il existe \(k\in \llbracket 0,4\rrbracket\) tel que : \[U = \omega^k\] Alors : \[z= -i \dfrac{\omega^k - 1}{\omega^k + 1} = \tan\left(\dfrac{k\pi}{5}\right)\] On vérifie réciproquement, que \(\boxed{z = \tan\dfrac{k\pi}{5}}\) est solution pour \(k\in \llbracket 0,4\rrbracket\).

  2. Résolvons de façon différente l’équation \(\left(\star\right)\) en développant les deux membres à l’aide de la formule du binôme de Newton : \[\begin{aligned} && 1 + 5(iz) + 10(iz)^2 + 10(iz)^3 + 5(iz)^4 + (iz)^5 \\ && = 1 - 5(iz) + 10(iz)^2 - 10(iz)^3 + 5(iz)^4 - (iz)^5 \\ &\Longleftrightarrow& 5iz + 10(iz)^3 + (iz)^5 = 0\\ &\Longleftrightarrow& z\left[ z^4 - 10z^2 + 5\right] = 0 \end{aligned}\]

    Et si \(z\) est une solution non-nulle, \(Z = z^2\) est racine du trinôme \[Z^2 - 10 Z + 5 = 0\] qui possède deux racines réelles : \[Z_1 = 5 - 2\sqrt{5} \quad Z_2 = 5 + 2\sqrt{5}\] et donc, les racines de \(\left(\star\right)\) sont : \[\boxed{0, \quad\pm \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}, \quad\pm\sqrt{5 - 2\sqrt{5}}}\] Comme \(\tan\dfrac{k\pi}{5}\) est strictement positif pour \(k = 1, 2\), et comme \(\tan\dfrac{\pi}{5} < \tan\dfrac{2\pi}{5}\), on trouve que \[\boxed{\tan\dfrac{\pi}{5} = \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}} \quad \textrm{ et} \quad \boxed{\tan\dfrac{2\pi}{5} = \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}}\]

  3. En utilisant la formule de trigonométrie : \[\tan2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}\] avec \(\theta = \dfrac{\pi}{10}\), et en posant \(A = \tan\dfrac{\pi}{10}\), \(A\) doit vérifier : \[\sqrt{5-2\sqrt{5}}\,A^2 + 2A - \sqrt{5-2\sqrt{5}} = 0\] et \(A\) est alors la seule racine positive de ce trinôme : \[\boxed{A =\dfrac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}}\]


Documents à télécharger