Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \[(z-1)^6 + (z-1)^3 +1 = 0 .\]


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[ID: 74] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:40] [Catégorie(s): Polynômes, équations, racines de l'unité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




Solution(s)

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Exercice 903
Par emmanuel le 4 janvier 2021 17:40

Posons \(Z=\left(z-1\right)^3\). L’équation devient alors \(Z^2+Z+1=0\) qui admet deux solutions : \(Z_1=-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+i{\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 2}=e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 3}}\) et \(Z_2=-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}-i{\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 2}=e^{-{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 3}}\). On a alors \(\left(z-1\right)^3=Z_1\) ou \(\left(z-1\right)^3=Z_2\). La première équation amène : \(\boxed{z=e^{i{\scriptstyle\left(6k+2\right)\pi\over\scriptstyle 9}}+1}\) avec \(k\in\llbracket 0,2\rrbracket\) et la seconde : \(\boxed{z=e^{i{\scriptstyle\left(6k-2\right)\pi\over\scriptstyle 9}}+1}\) avec \(k\in\llbracket 0,2\rrbracket\). On vérifie réciproquement que ces six nombres sont solutions de l’équation.


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