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[ID: 72] [Date de publication: 4 janvier 2021 17:40] [Catégorie(s): Polynômes, équations, racines de l'unité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 2 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]

Solution(s)

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Exercice 622
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 17:40

Soit \(z=\rho e^{i\theta}\in\mathbb{C}\) avec \(\rho\in\mathbb{R}_+^*\) et \(\theta\in\mathbb{R}\).

1. On a \(-8=8e^{i\pi}\) et \(z\) est une racine troisième de \(-8\) si et seulement si \(\rho^3=8\) et \(3\theta=\pi ~\left[2\pi\right]\). Il vient alors \(\rho=2\) et \(\theta=\pi/3 ~\left[2\pi/3\right]\). Donc \(z=\boxed{2e^{i\pi/3}}\) ou \(z=2e^{i\left(2\pi/3+\pi/3\right)}=2e^{i\pi}=\boxed{-2}\) ou \(z=2e^{i\left(4\pi/3+\pi/3\right)}=2e^{i5\pi/3}=\boxed{2e^{-i\pi/3}}\). On vérifie réciproquement que ces trois nombres conviennent.

2. Comme \(-i=e^{-i{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}\), on a : \(z^5=-i\) si et seulement si \(\rho^5=1\) et \(5\theta \equiv -{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2} ~ \left[2\pi\right]\) c’est-à-dire si et seulement si \(\rho=1\) et \(\theta= -{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 10} ~ \left[{\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 5}\right]\). Les cinq racines cinquièmes de \(-i\) sont donc : \(\boxed{e^{i\left(4k-1\right){\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 10}}}\) avec \(k\in\llbracket 0,4\rrbracket\).

3. De même, on montre que \({\scriptstyle-4\over\scriptstyle 1+i\sqrt 3}=2e^{{\scriptstyle 2i\pi\over\scriptstyle 3}}\). Par conséquent, \(z^6={\scriptstyle-4\over\scriptstyle 1+i\sqrt 3}\) si et seulement si \(\rho^6=2\) et \(6\theta \equiv {\scriptstyle 2\pi\over\scriptstyle 3} ~ \left[2\pi\right]\), c’est-à-dire si et seulement si : \(\rho=\sqrt[6]{2}\) et \(\theta \equiv {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 9} \left[{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 3}\right]\). Les six racines sixième de \({\scriptstyle-4\over\scriptstyle 1+i\sqrt 3}\) sont donc : \(\boxed{e^{i{\scriptstyle\left(3k+1\right)\pi\over\scriptstyle 9}}}\) avec \(k\in\llbracket 0,5\rrbracket\).